这两天新型肺炎病例是指数上升啊！呆在家里没事干，正好想起之前FPGA大赛上有个老哥做了一个图像旋转作品，还在群里发了技术报告。无聊之下就打算学习一下，然后就顺便把平移、旋转、缩放这些几何变换都看了，最后决定把这三个综合起来写个“旋转傻乌龟”的动画。先是用OpenCV内置函数实现了下，感觉不过瘾，又自己写了一遍。老规矩，还是把学过的、做过的东西记录下来！

旋转傻乌龟，效果就是将一只乌龟在窗口中同时进行平移、缩放和旋转，由于最后看起来样子比较傻，因此得名“旋转傻乌龟”。

效果视频：

1|0一、几何变换的矩阵表示

1|11.1　平移的表示

上图中的三种表示方法第二种是OpenCV要求的方式，但第一种形式表示起来更具统一性，因此我更倾向于第一种。但无论哪一种，都能展开成第三种的形式。第三种非常直观的反映了平移，只是需要注意正负号的选取——在编程中，图像一般以左上角为（0，0）点。这也就是说，建立坐标系的时候，X轴以右正方向，Y轴以下为正方向。以上矩阵表示将图像向右平移x0，向下平移y0，也可以认为是将坐标系向左平移x0，向上平移y0。平移可以形象地表示如下：

1|21.2　以左上角为定点缩放的表示

缩放最容易理解，就是将横纵坐标乘以缩放比例。由于我们以左上角为坐标系原点，所以左上角点的位置并不会变化。

1|31.3　以左上角点为中心旋转的表示

在本文中，规定顺时针方向旋转，θ为正；逆时针旋转，θ为负。旋转前后的坐标关系推导也不难，如下图所示，旋转前先求出旋转半径L，旋转后根据L求出坐标。

为了之后表述的简洁，我们将这三节中的矩阵分别用特定符号简记：

1|41.4　以任一点为中心旋转的表示

有了以上的基础，我们就可以研究更加复杂的变换。例如我们想以任一点(x0,y0)为中心旋转，而我们推导的R(θ)只适用于以坐标系原点为中心旋转。因此，我们可以将图像向上平移x0，向左平移y0，使(x0,y0)点平移到坐标系原点；然后再旋转，旋转完后再向下平移x0，向右平移y0回到原来位置，这一过程可用三个基础基础矩阵表示成如下形式，注意三个矩阵顺序不能调换。

1|51.5　以任一点为定点缩放的表示

方法同1.4节的旋转，可以表示为下面形式。除此之外，还可以在此基础上进行旋转平移，只要在左边依次乘上相应矩阵即可。

2|0二、旋转傻乌龟OpenCV函数实现

OpenCV提供了仿射变换函数warpAffine。在输入参数中，M表示变换矩阵，可以是平移、旋转和缩放矩阵等；dsize是输入图像的大小；flags是插值方式，一般采用默认的双线性插值。

至于M的获取，平移矩阵只能自己构造；二旋转矩阵可以由函数getRotationMatrix2D得到。输入参数中，center表示旋转中心的坐标；angle为旋转角度，逆时针为正；scale是缩放比例。可见这个函数同时包揽了旋转和缩放的功能。

我的思路是，用正弦函数生成一系列轨迹点，乌龟每到达一个轨迹点，就旋转一定角度，缩放一定比例，而轨迹点的跟踪就是乌龟中心的平移。根据之前的说的原理，我们先让整个图像绕自身中心旋转和缩放，缩放后的乌龟应该是在整个图像的中间，为了让它中心和轨迹重合，就使用平移变换，此时平移的距离应该是path-center。整个过程的代码如下：

3|0三、旋转傻乌龟自实现

 这个自己用Python实现的话，性能就相当重要了，尤其是双线性插值，如果不优化的话，慢得简直可以让你怀疑人生。比如，一般的是用两个for循环迭代，代码如下。在这个项目里，这个函数执行一次需要花费1.4s的时间。所以不优化的话，这只乌龟真的是名副其实了！

那怎么办？网上有一些优化的方法，主要是将浮点运算转成整数运算，这个方法对于FPGA这样的逻辑器件最适合不过了——但别忘了，我现在用的是Python，整数运算实际上也会被转成浮点运算，所以这个方法显然不适用。我采用的优化是进行矩阵化，据我所知，很多编程语言只要是支持矩阵运算的，其运算都是优化过的。对于双线性插值和仿射变换，运用矩阵也是很合适，只是写起来会有点抽象。。。

首先，先把生成变换矩阵的函数写出来，代码如下。要注意numpy的三角函数接受的参数是弧度制。

接下来写仿射变换函数，输入参数为图片数据、变换矩阵和输入图片的大小。这里应该要有逆向思维——现在我要得到变换后的图片，就是要求各坐标位置上的色彩，而色彩取样自变换前图像上的一点（这点的坐标可能不是整数），也就是说我们要将变换后的坐标映射到变换前的坐标。再来看之前的公式（下图左，为了方便，将变换矩阵合成为一个矩阵A），现在我们已知的是左边部分，而要求的映射是等式右边的XY，因此我们将A拿到左边，得到另一个公式（下图右），并依据这个公式，写出仿射变换函数。