支持向量机SVM知识梳理和在sklearn库中的应用

SVM发展史#

线性SVM=线性分类器+最大间隔#

间隔(margin):边界的活动范围。The margin of a linear classifier is defined as the width that the boundary could be increased by before hitting a data point.

预备知识#

• 线性分类器的分割平面(超平面)：Wx+b=0
• 点到超平面的距离:M=|g(x)|∥W∥$M=\frac{|g(x)|}{\Vert W\Vert }$,其中g(x)=Wx+b$g(x)=Wx+b$
• SVM中正样本定义为g(x)>=1,负样本定义为g(x)<=-1
• SVM中Wx+b=1或者Wx+b=-1的点称为支持向量

间隔的形式化描述#

M=2∥W∥$M=\frac{2}{\Vert W\Vert }$

SVM通过最大化M来求解参数W和b的，目标函数如下：#

求解 ：拉格朗日乘数法，偏导为0后回带#

在SVM中，原问题和对偶问题具有相同的解，W已经求出：W=∑li=1αiyixi$W=\sum _{i=1}^l{\alpha }_i{y}_i{x}_i$, 不等式约束，还需要满足KKT条件。若αi>0${\alpha }_i>0$,则必有xi为支持向量，即：训练完毕后，最终模型仅和支持向量有关。

b的求解过程如下

一个实例#

软间隔：加入容错量#

同样采用拉格朗日乘数法求解#

LD的区别仅仅体现为αi${\alpha }_i$的约束不同。

非线性SVM:特征空间#

通过映射到高维空间来将线性不可分的问题转换为线性可分的问题。

高维空间向量内积运算复杂度高。以二次型为例，直接计算#

xi⋅xj⇒Φ(xi)⋅Φ(xj)$x_i\cdot x_j\Rightarrow \Phi (x_i)\cdot \Phi (x_j)$,直接计算的话，复杂度会成倍增加。

以二次型为例，理解核技巧#

通过在低维空间的计算o(m)，得到高维空间的结果，不需要知道变换是什么，更不需要变换结果的内积，只需要知道核函数，就可以达到相同的目标。(变换结果的内积)

请看实例,二维空间#

常用的核函数#

多项式变换中，当d=2时，就是二次型变换。

此时w和b的结果如下：#

将xi$x_i$换为ϕ(xi)$\varphi (x_i)$,将ϕ(xi)⋅ϕ(xj)$\varphi (x_i)\cdot \varphi (x_j)$换为K(xi,xj)$K(x_i,x_j)$,其余都不变，真的很简洁。

SVM在Scikit-Learn中的应用#

• Linear SVM:min12∥w∥2+C∑ζ2$min\frac{1}{2}{\Vert w\Vert }^2+C\sum {\zeta }^2$

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LinearSVC( penalty='l2', C=1.0,#就是目标函数的C，C越大(eg:1e9)，容错空间越小，越接近硬边界的SVM(最初的SVM，基本不用),C越小(eg:C=0.01)，容错空间越大，越接近soft Magin. )

• 核函数 SVM:from sklearn.svm import SVC

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SVC( C=1.0, kernel='rbf', degree=3,#多项式核函数的指数d gamma='scale',#高斯基函数中的参数gamma，越大，函数分布越狭窄； gamma越小，决策边界越松弛，当很小时，可以认为趋于无穷大成一条直线了，这时就欠拟合了。gamma取值越大，决策边界越收紧，当很小时，会无限包紧样本点，这时就过拟合了。 )