多路查找树

二叉树与 B 树

二叉树存在的问题

二叉树的操作效率较高，但是也存在问题，如下图所示

当二叉树的节点较少时，不会出现什么问题。但是当节点过多时（海量，如 1 亿），就会出现如下的问题：

1. 构建二叉树时，需要进行多次 I/O 操作

   节点较多时，一般会存储在文件或则数据库中，进行多次 I/O 获取到所有的节点，速度有影响

2. 会造成二叉树的高度很大，降低操作速度

多叉树

为了解决层数过多的问题，就出现了 多叉树。

在二叉树中，每个节点有数据项，最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点，就是 多叉树（multiway tree）。

多叉树也有一定的规则的，比如后面讲解的 2-3 树、2-3-4 树，就是多叉树。

多叉树通过重新组织节点，减少树的高度，对二叉树进行优化。

下图则是一颗 2-3 的多叉树：

2-3 的原因：如上图按节点数量来定义的。有的只有 2 个子节点，有的有 3 个子节点。

B 树的基本介绍

B 树通过重新组织节点，降低树的高度，并且减少 I/O 读写次数来提升效率。

上图说明：

• 一个圆圈表示一个数据项
• 相连的数据项，整个表示一个节点

那么它的有点如何理解呢？

• 降低树的高度：

  可以看到，一个节点中有很多数据项，就能大大减少节点数量，从而降低树的高度

• 减少 I/O 读写次数

  文件系统及数据库系统的设计者利用了 磁盘预读原理，将一个节点的大小设为等于一个页（通常大小为 4K），这样每个节点只需要一次 I/O 就可以完全载入。

  这样说，你可能没有概念，举个例子：将树的度 M 设置为 1024 ，在 600 亿个元素中最多只需要 4 次 I/O 操作就可以读取到想要的元素。

  B 树（B+ ）广泛应用于文件存储系统以及数据库系统中。

  什么是 度？

  • 节点的度：一个节点下的子树节点个数就是 节点的度。
  • 树的度：指一颗树中，节点的度最大的哪一个值。

B 树其实就是前面所说的 多叉树

树

2-3 树

2-3 树是最简单的 B 树结构，具有如下特点：

1. 所有 叶子节点 都在同一层

   只要是 B 树都满足这个条件，就是满树。

2. 有两个子节点的节点叫 二节点

   二节点要么 没有子节点，要么 必须有两个子节点。

3. 有三个子节点的节点叫 三节点

   三节点要么 没有子节点，要么 必须有三个子节点。

4. 2-3 树是由 二节点 和 三节点 构成的树

2-3 树构建图解

对数列 {16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成一个 2-3 树，那么它构建的规则要满足前面说的特点。下面进行图解后，你就明白，上面的特点是如何限制的。

有几个额外的注意事项：

1. 一个节点中，最多只允许放 2 个数据。
2. 构建的树必须是有序的，也就是按照二叉排序（BST）的要求构建有序的树

下面是图解步骤：

1. 添加 16、24
   

添加 16 时，没有数据，直接新建一个节点，放进去。

添加 24 时，发现有一个节点了，并且比 16 大，此时该节点中只有一个数据，则将 24 放在 16 的右边。

2. 添加 12
   

此时会发现，12 比 16 小，本来应该放在 16 的左边，此时发现这个节点 已经有两个数据了，那么就只能放在 左子节点 。

如果直接将 12 放到 16,24 的左节点，就会破坏 2-3 树的条件：2 节点，要么没有子节点，要么有两个。

那么此时就只能将 16,24 这个节点进行拆分。如上图：24 变成 16 的右节点，12 变成 16 的左节点。这时就满足了 2-3 的特性。

3. 添加 32

   这个就简单了，以现在的树结构，可以直接添加到 24 的 右边，变成 24,32
   

4. 添加 14

   这个也简单，直接添加到 12 的右边，变成 12,14
   

5. 添加 26

   此时应该添加到 24,32 的中间，由于一个节点只能添加两个数据，那么就需要拆分。
   

为了满足 B 树特点，发现上层的 16 只有一个数，那么就补足它。组成 16,26。

因为此时 24,32 这个节点，不满足 BST 的排序了，24 是小于 26 的。只有 32 满足。

拆完上层，再拆本层：由于 24 介于 16,26 之间，则将它安排在 3 节点中的中间节点，24,32 把 24 拆分出去了，只剩下 32，此时完全满足 B 树的特点。

6. 添加 34

   此时就简单了，添加到 32,34 中
   

7. 添加 10

   此时应该添加到 12,14 的左侧。但是不满足条件：一个节点最多只能装 2 个数据。

   放到 12,14 的左节点，也不满足条件：所有叶子节点必须在同一层、也不满足 2-3 节点的数量要求。

   那么此时就需要拆分，先看他的上层 16,26 是满的，如何做呢？看下图：
   

左侧的拆分图，上面我们分析过了，不满足 B 树要求。那么就需要拆分成右图这样：

1. 将 12,14 中的 14 拆分成 右子节点，10 挂在 左节点。

2. 此时不满足 B 树要求的，则将 16,26 中的 26 拆分成 右子节点。

3. 24 这个节点由于上层被拆分了，不满足在中间节点了。调整它的位置

4. 原来的 32,34 节点调整为 16 的右节点。

5. 添加 8

   此时很简单，组成 8,10 即可
   

6. 添加 28
   

7. 添加 38

   此时就简单，直接组成 34,38
   

8. 添加 20

   这个也简单，直接组成 20,24
   

2-3 树添加规则总结

满足如下特点：

1. 所有 叶子节点 都在同一层

   只要是 B 树都满足这个条件，就是满树。

2. 有两个子节点的节点叫 二节点

   二节点要么 没有子节点，要么 必须有两个子节点。

3. 有三个子节点的节点叫 三节点

   三节点要么 没有子节点，要么 必须有三个子节点。

4. 2-3 树是由 二节点 和 三节点 构成的树

5. 构建的树，要满足二叉排序树（BST） 的顺序

6. 一个节点中，最多只允许放 2 个数据。

7. 只有一个数据的节点，下面只允许 最多有 2 个节点，要么没有

8. 有 2 个数据的节点，下面只允许 最多有 3 个节点，要么没有

234 树

除了 2-3 树，还有 2-3-4 树，他的特点是在 2-3 树的基础上，还多了一个 4 节点，同样，一个节点最多可以装 3 个数据，要么有 4 个节点，要么没有

B树、B+树、B*树

B树

B-tree 树即 B 树，B 是 Balanced 平衡的意思。B- 树，这个也是 B 树，只是翻译的文本容易产生误解。

上图就是一个 B 树，说明如下：

• B 树的阶：节点的最多 子节点 个数

  如：2-3 树的阶是 3，2-3-4 树的阶是 4

• B 树的搜索

  从 根节点开始，对节点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的 儿子节点。

  然后重复，直到所对应的儿子节点指针为空，或则已经是叶子节点。

• 关键字集合分布在整棵树中

  即：叶子节点和非叶子节点都存放数据

• 搜索有可能在非叶子节点结束

• 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

B + 树

在 MySQL 中，有些索引就是用 B 树或则 B+ 树实现的。B+ 树是 B 树的变体，也是一种多路搜索树。

B + 树说明：

1. B+ 树的搜索与 B 树基本相同，区别是 B+ 树只有到达叶子节点才命中（B 树可以在非叶子节点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找

2. 所有 关键字都出现在叶子节点的链表中

   即：数据只能在叶子节点，也叫 稠密索引，且链表中的关键字（数据）恰好是有序的。

3. 不可能在非叶子节点命中

4. 非叶子节点相当于是叶子节点的索引，也叫 稀疏索引，叶子节点相当于是存储（关键字）数据的数据层

5. 更适合文件索引系统

6. B 树和 B+ 树有各自的应用场景，不能说 B+ 树完全比 B 树好。

B+ 树的这种设计，应该是类似分段思想，比如：5,28,65，下面存放三个节点：

• 5-28 的段，为一个节点
• 28-65 的段，为一个节点
• 65 以上的段，为一个节点

比如查询 30 ，直接找到在第二个节点中，然后往下一个目录索引找，就很快能定位到数据。

B* 树

B* 树是 B+ 树的变体，在 B+ 树的非根和非叶子节点再增加指向兄弟的指针

说明：

• B* 树定义了 非叶子节点 关键字个数至少为 (2/3)*M ，即块的最低使用率为 2/3，而 B+ 树的块的最低使用率为 B+ 树的 1/2

  M 是指树的度，也就是层。

• 从第 1 个特点，可以看出 B* 树分配新节点的概率比 B+ 树要低，空间使用率更高。