• 集成学习之Xgboost(6)

wq(x)$w_q(x)$为叶子节点q$q$的分数，F$F$对应了所有K$K$棵回归树（regression tree）的集合，而f(x)$f(x)$为其中一棵回归树。XGBoost算法的核心就是不断地添加树，不断地进行特征分裂来生长一棵树，每次添加一个树，其实是学习一个新函数，去拟合上次预测的残差。当我们训练完成得到k棵树，我们要预测一个样本的分数，其实就是根据这个样本的特征，在每棵树中会落到对应的一个叶子节点，每个叶子节点就对应一个分数。最后只需要将每棵树对应的分数加起来就是该样本的预测值。显然，我们的目标是要使得树群的预测值尽量接近真实值，而且有尽量大的泛化能力。所以，从数学角度看这是一个泛函最优化问题，故把目标函数简化如下。

XGBoost损失函数：

从上式可以看出，这个目标函数分为两部分：损失函数和正则化项。且损失函数揭示训练误差（即预测分数和真实分数的差距），正则化定义复杂度。对于上式而言，是整个累加模型的输出，正则化项是则表示树的复杂度的函数，值越小复杂度越低，泛化能力越强，其中T表示叶子节点的个数，w表示叶子节点的分数。直观上看，目标要求预测误差尽量小，且叶子节点T尽量少（γ控制叶子结点的个数），节点数值w尽量不极端（λ控制叶子节点的分数不会过大），防止过拟合。

6. Xgboost目标函数的改写：

我们知道，每次往模型中加入一棵树，其损失函数便会发生变化。另外在加入第t$t$棵树时，则前面第t−1$t-1$棵树已经训练完成，此时前面t−1$t-1$棵树的正则项和训练误差都成已知常数项。再强调一下，考虑到第t$t$轮的模型预测值yi^(t)${\widehat{y_i}}^{(t)}$  =  前t−1$t-1$轮的模型预测